Matemáticas para resolver problemas reales

Fenómenos como el movimiento de los planetas, saber cómo se expande un virus o incluso las previsiones económicas se pueden modelar mediante ecuaciones matemáticas. Su resolución es sencilla cuando estas ecuaciones son de grado 1 o 2. Incluso para grados un poco mayores hay fórmulas que dan la solución exacta.

El problema llega cuando las ecuaciones se complican. “Con ecuaciones polinómicas con grados elevados, o no polinómicas, no tenemos ni tan siquiera una fórmula que nos dé la solución, y para eso utilizamos métodos iterativos o familias de ellos”, explica Alberto Magreñán Ruiz, investigador en la Universidad Internacional de La Rioja (UNIR).

El plano de convergencia asociado a una familia de métodos de orden 4, aplicado al polinomio genérico p(x)= (x-a)(x-b) en la región (x,alpha) ∈ [−1, 1] × [-0.05, 0.05]
El plano de convergencia asociado a una familia de métodos de orden 4, aplicado al polinomio genérico p(x)= (x-a)(x-b) en la región (x,alpha) ∈ [−1, 1] × [-0.05, 0.05]

En un artículo publicado en la revista Applied Mathematics and Computation, el matemático avanza en este tipo de problemas, en concreto, en el estudio de los métodos iterativos, que toman un punto inicial y generan una sucesión.

Esta, bajo ciertas condiciones, converge hacia la solución. “El problema viene a la hora de encontrar estas condiciones y hacerlas cada vez menos restrictivas para asegurarnos la resolución de un mayor número de ecuaciones”, apunta Magreñán.

Matemáticos de todo el mundo llevan estudiando este problema desde hace siglos. Hasta ahora, para estudiar cómo se comportaban estos métodos en la recta real existían dos herramientas que dan información de un único punto cada vez –los exponentes de Lyapunov y los diagramas de Feigenbaum–.

Magreñán ha diseñado una nueva herramienta que da la misma información que las otras dos juntas y además, lo hace para todos los puntos de la recta real, lo que ahorra mucho tiempo y permite ver de un vistazo todos los comportamientos que se presentan.

“La idea es, en lugar de utilizar solo la recta real, usar el plano haciendo que un eje sea para los puntos iniciales y el otro, para los valores del parámetro”, indica el matemático. La herramienta está pensada para adaptarse a distintas situaciones que requieran una pequeña modificación, utilizando siempre el plano en lugar de la recta.

Referencia bibliográfica: Ángel Alberto Magreñán. “A new tool to study real dynamics: The convergence plane”. Applied Mathematics and Computation, 248, diciembre 2014. DOI:10.1016/j.amc.2014.09.061.

Pie de foto: El plano de convergencia asociado a una familia de métodos de orden 4, aplicado al polinomio genérico p(x)= (x-a)(x-b) en la región (x,alpha) ∈ [−1, 1] × [-0.05, 0.05].